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闲聊数学和数学的书
数学很难学，不信吗？
很多朋友会说：这课越听越懵，作业也做不到；想着翻翻书再看一下，结果呢？它在说什么都看不明白。这还学个什么？
如果抛开天赋对比，只是单单对我们每个人自己而言，数学 为什么那么难学？
我们知道，老师讲课得顺着书来，学生学习得跟着书走，就连教辅资料也必须紧紧围着书绕圈圈。看来，数学教科书就是其中关键了。那我们自然就要研究它。
一、教科书为何如此"高冷"？
首先，我们常见的教科书是什么样的？晦涩、周密、严谨，像用一整条铁链缠来缠去拼出的一个大龟壳。
可它为什么是这样的呢？
其实，这种样子的教科书并不是自古有之，相反，它相当年轻——年轻到它的创造者们，有人 2008 年才去世。我个人觉得，这是一个相当有意思的故事，而且很有助于理解教科书是怎么变成今天常见模样的。大家不妨放轻松来听一听。
1935 年那会儿，教科书的编写主打的就是一个"生机勃勃"：各种数学研究方向的教科书在自己的领域自由泼洒，也不管和其他的数学分支能不能衔接得上，想怎么编就怎么编，没有一个通用的写法。结果真正在数学里做到了"隔行如隔山"。
这些数学家大部分玩的都是 直觉主义。顾名思义，他们所研究的东西和过程要直观、要可见，最好你一看不用解释就能懂。很自由，很讲创造力，对人很友好，特别有个人色彩。
但发展到极端，这就太松散了，反而妨碍大家理解得更全面和深入。
二、布尔巴基：一场美丽的"恶作剧"
然而，就像冒险故事里总会有转折一样，巴黎高等师范学院——当时世界数学的顶尖学校——一群学生嫌烦了。他们开始按 结构主义 的思路来重写数学教材。
结构主义就是像盖房子一样，上层靠着下层，一步一步地搭出一整个严谨完整的体系来。
没错，他们就是我们常见数学教材的直系祖先。
但与结构主义有些古板的风格不同，这几位做这事时，同时给了世界一个恶作剧：这些学生组成了一个小团体（这很正常），但他们给自己的团体起了个人名，叫 尼古拉·布尔巴基。
他们用这个名字给法国数学学会写信、发表成果。为了让布尔巴基更像个真人，他们把布尔巴基设定为不存在的、俄国传奇大数学家。接下来的时间里，这位"伟大的布尔巴基"本人宣布过自己女儿的结婚，公开调侃那些质疑他存在的人。当这个玩笑终于难以为继时，布尔巴基的讣告也如期在期刊上流传。
我们今天颇显古板的教科书，它的创始人们却是时代和传统的叛逆者。这是历史给人们的一个恶作剧。
这群布尔巴基派最后拿出了自己的成果——一本叫《数学原本》的书。我对比了法文原标题，确信他们就是在"碰瓷"《几何原本》：后者给**古典几何确定了顶点，而前者想给整个数学**树立界碑。年轻人很气盛吧？
两本《原本》的思想也是一脉相承。《几何原本》最强调基础，就是被后续叫做"公理化“的思考方法。
很眼熟嘛？这就是结构主义的雏形。
而布尔巴基比起它又更近了一步：连那最最简单的几个显而易见的概念，都被加以严格的抽象定义，以便为他们的旷世杰作打下一个不可撼动的地基。
最终，数学所有的一切都被它浑然一体地囊括和联系。数学的”水晶大厦“就这么拔地而起——一座宏伟优美、有条不紊的艺术品。我国古代史书一般会这样评价类似杰作：”集大成者"。
三、结构主义的"双刃剑"
简洁条理的教科书流行世界，成为典范。助推重工业发展、极其需要理工人才的 苏联，它的教材自然而然地吸收了 布尔巴基学派。之后，面临类似处境的我国开始学习苏联，拥有了自己的"布尔巴基"风格。
就此，我们合上了今天常见数学教科书的"家谱"。
看来，数学就此将克服松散与混乱，彻底走进大家能够理解的、更全面和深入的时代了吗？
当然没有。不然为什么这种教科书那么难学？
我们能看到：布尔巴基型、或者说 结构主义 发展到极端时，它的弊端是如此尖锐。结构主义确实克服了 直觉主义 的松散与混乱不假，但它也同时克服了"易于理解"的优点。就此，学习数学"进阶“的门槛消失了，”入门“的门槛却出现了。
因此，这座布尔巴基的数学水晶大厦，它没有真正的大门。“灯塔"的第一步变成了：学会怎么在垂直起伏的水晶墙上不打滑。
也许布尔巴基的一名成员 亨利·嘉当 的话，能让我们更明白他们的意图和缺陷（有点长，还请朋友们稍作忍耐，后面我会解释）：
“布尔巴基的著作，显然不是适合年轻学生的教科书。但对于一个熟悉最重要经典学科、并渴望深入的成熟的学生来说，通过学习布尔巴基的内容，他可以建立一个坚固而持久的基础。布尔巴基’从一般到具体‘的方法，对初学者来说确实有些危险，因为他们的具体问题储备有限，可能会误认为’一般性’本身就是一个目标。但这并不是布尔巴基的意图。对于布尔巴基来说，只有在能够应用于更具体的问题时，一般概念才是有用的——实际上能节省时间和精力。”
—— Nicolas Bourbaki in Contemporary Mathematics
意思就是：学习布尔巴基式的教材，有一个前提——就是需要脑子里已经有了各种例子，有了对具体足够的了解（哪怕是粗浅片面的）。有了这个前提的学生可以学得更系统；没有的学生不仅难以学习，而且容易误入歧途，以为那些抽象的概念就是学习的终点和全部，不能回到现实解决问题，也就成了所谓的”书呆子"，让”高分低能“的观念总是出现。
四、学习的本质：从具体到抽象
全校有一门科学叫 认知科学，它是研究人是怎么学习和记忆的。学习的核心过程可以画成下面这个图：学习是一个感性和理性共存的过程，而不是仅通过单纯的思考。
你可以回忆一下：当学习 集合 的一堆奇奇怪怪的符号和定义时，你如果知道"班级可以是一个集合”、“一群数字可以是一个集合”、“诸多图形可以是一个集合”，理解它的定义起来就会比直接硬啃"集合是指具有某种特定性质的、具体的或抽象的对象汇总而成的集体"要顺利得多。
这里的"班级可以是一个集合"等等，就是例子；而定义就是用文字写出来的抽象规律。当你脑子里自动归纳出那种"明白"的感觉，并通过文字定义打磨后，就成为了你学到的知识。
而布尔巴基们的主要工作是整理了抽象的规律，防止后人误解和走弯路。但前面也说过，他们是在 直觉主义 大背景基础上更进一步的。如果连直观的解都没有，向哪迈进？如果连具体的路都没有，往哪走、怎么拐弯？
用《实践论》的一句话：开始于经验，就是这个意思。
有的朋友会说：就算没有这些个什么"例子经验"，我们不照样学会了数学吗？
对此我想说：你可曾想过：你日复一日的练习、你无休的测试，哪个不是你积累的例子经验？你何曾能只读一遍定义，就能把数学运用自如呢？
我的讲述只需把这个原理展现出来，让大家不要直接死磕困难和抽象的，而是先积累简单而具体的。
五、给学习者的实用建议
到此，我们可以给出朋友们学习数学教科书的结论和办法了：
数学难学的一个重要原因是：学习的时候没有遵循人认知的天性——即大家都知道的：由具体个体，到抽象规律，再到具体个体。
网上有一句关于讨论国内外教材的评论特别好，细细品：
“国内的教材属于’你懂了以后再来看，条条经典’；国外的教材属于’你不懂的时候来看，句句通透’。”
现在我们知道，这并不是国内国外之别，而是 结构主义 与 直觉主义 之分。
那自然我们可以想些办法。学习数学首要技巧：要有两本书——先一本直觉式的用来入门，再一本结构式的用来进阶。
这里要强调三点：
- “最少"就说明最小：最小也要有两本，多多益善；
- “书"并不仅指书籍：电子书、文章、视频、动画、演示、老师，原则是统一的，方法是多样的；
- 先后顺序不细说：咱得把数学书全理解完了才进阶？一类、一课、一个概念都可以作为对象，在实际的基础上灵活些吧。
可能有需要教数学课的朋友会问：我明明已经讲得很清楚、很通俗了，可学生还是听不懂，这是怎么一回事？
为此，一位叫 米哈伊尔·格罗莫夫 的数学家留下了他的话：
“几乎任何数学理论中，缺乏基本思想和动机的充分呈现，这一普遍而不幸的事实，可能源于数学感知的二元特性：要么你对某个思想毫无概念；要么一旦你理解了它，这个思想就显得如此明显，以至于你不愿意大声说出来。此外，一旦你的思维从黑暗状态转向光明，关于黑暗状态的所有记忆都会被抹去。因此很难想象，另一个人会觉得这个思想并不显而易见。”
这有点像是骑自行车：在还不会的时候，哪怕记住了该怎么骑、哪怕有人手把手地教，也依然摇摇晃晃、三步一摔；然而学会的一瞬间，它就好像本该如此一样。回想一下：你骑车时还能找回最初笨拙的感觉吗？
这明显不是单纯脑子思考主导的过程，而是大脑的感受：材料累积够了，一瞬间相互联系——从无含义的拼图碎片，联系成一整幅有含义的拼图了。
此时，与其零散拼图和杂乱庞杂的碎片，大脑的天性会选择哪一个呢？毫无疑问是前一个：省空间、省资源嘛。
并且，它依然符合之前提到的学习的过程：从大量感性材料中提取共同点，用逻辑连接在脑中形成一个抽象的规律，然后再运用规律去解决新的情况。
华罗庚 讲的"熟读精思，细嚼慢咽；析难入微”，又说要打好数学基础有两个必经过程：先学习接受”由薄到厚"，再消化提炼"由厚到薄"，就是这么个意思。
我认为的解决方法依然是：由具体个体，到抽象规律，再到具体个体。
比起抽象完整的"骑自行车"，不妨先学具体简单的：练一下午电动车找平衡（十四五岁时死活学不会的，我就是这么被教会的，感谢我的姥姥，劳动人民的智慧✨）。
数学也可以按这个思路教：比如由具体的图解，到抽象的概念，再到具体的习题。
六、资源推荐
基于"该怎么表现、是否有具体的例子参考"，以下是我的推荐（例子里会有常用名，会写英文的还请见谅🙏）：
🔹 直观方面：画图和动画演示也许是个不错的选择
- Khan Academy 的 The Art of Algebra
- 哈维穆德学院的视频博主 3Blue1Brown 的 Manim 动画
🔹 具体、易于理解的表达：
- 我强烈推荐 Jason Wilkes 的《烧掉数学书：重新发明数学》
- 麻省理工学院 Gilbert Strang 的《线性代数》
结语
最后，我想用 塞尔日·兰（Serge Lang）的话来结尾：
“在上一次演讲中，我问：‘数学对你来说意味着什么？‘有些人回答：‘处理数字、处理结构。‘那么，如果我问：‘音乐对你来说意味着什么？‘你会回答’处理音符’吗？”
所以，希望大家能学会数学，享受放松的那一面。
祝大家玩得开心！🎲📐✨
